Линейные алгебры Ли на четырехмерном пространстве

Abstract

Исследование линейных групп Ли сопряжено, с одной стороны, с более общей задачей изучения произвольных линейных групп, с другой стороны, линейные группы Ли тесно связаны с алгебраическими группами. Цель работы – описание с точностью до сопряженности подалгебр алгебры Ли. Определены основные понятия: линейная алгебра Ли, разделяющая алгебра Ли, разделяющая оболочка, автосопряжение, специальное автосопряжение, подалгебра Леви – Картана, линейный нильрадикал, подалгебра Мальцева. Приведен алгоритм классификации разделяющих алгебр Ли с данным линейным нильрадикалом, а именно: сначала строится нормализатор нильпотентной подалгебры, далее фиксируется некоторая подалгебра Мальцева нормализатора и строится разделяющая алгебра Ли, потом, с точностью до сопряженности, описываются подалгебры алгебры Мальцева, являющиеся редуктивными, и выписываются разделяющие подалгебры. Затем решается задача классификации неразделяющих линейных алгебр Ли с данной разделяющей оболочкой. С применением этих алгоритмов проведено в явном виде описание линейных алгебр Ли на четырехмерном пространстве. Алгоритмы, приведенные в работе, могут быть компьютеризованы и использованы для решения аналогичных задач в больших размерностях.