Квадратичные критерии для проверки гипотез о среднем многомерного нормального распределения

Abstract

Для наблюдения X = (X1, …, Xn), имеющего многомерное нормальное распределение с единичной ковариационной матрицей, рассматривается задача проверки гипотезы о среднем противальтернативы сдвига. Исследуются критерии, основанные на статистиках вида ( ),1 ?== ?nk Tn nk f Xk где коэффициенты удовлетворяют условию равномерной асимптотической малости, а на функцию f накладываются определенные ограничения четности, гладкости и роста. Задача заключается в определении асимптотически (при n ? ?) наиболее мощного критерия. Исследовано предельное поведение математического ожидания и дисперсии статистики Tn при основной и альтернативной гипотезах. Показано, что в случае альтернатив, удовлетворяющих определенному условию асимптотической малости, предельное распределение статистики Tn является нормальным с одной и той же дисперсией при гипотезе и при альтернативе, получено асимптотическое представление для мощности критерия. Задача поиска функции f, определяющей асимптотически наиболее мощный критерий, сводится к задаче вариационного исчисления. Основным результатом статьи является доказательство того, что в описанной постановке задачи наиболее мощным критерием оказывается критерий, определяемый квадратичной функцией f.