Асимптотические свойства G-функции Мейера с двумя мнимыми параметрами

Abstract

Проблема асимптотических разложений специальных функций по индексам или параметрам возникает в связи с исследованием некоторых классов интегралов и преобразований по индексам. Наиболее общей специальной функцией гипергеометрического типа является G-функция Мейера. Важность G-функции в значительной степени связана с возможностью выразить через G-символ большое число специальных функций и их комбинаций, встречающихся в прикладной математике. Работа посвящена изучению асимптотических свойств G-функции Мейера специального вида с двумя мнимыми параметрами, когда их значения по абсолютной величине достаточно велики. Показано, что рассматриваемая функция при частных значениях параметров обобщает ядра известных интегральных преобразований по индексу, в частности, преобразований Конторовича – Лебедева, Мелера – Фока, Олевского, Лебедева и других. С помощью теоремы Слейтер записано представление G-функции в виде линейной комбинации обобщенных гипергеометрических рядов со степенными множителями. Для функций гипергеометрического типа справедливо свойство иметь своим преобразованием Меллина отношение произведений гамма-функций Эйлера, асимптотика которых в соответствии с формулой Стирлинга известна. Записана формула Стирлинга для гамма-функции Эйлера комплексного аргумента, у которого мнимая часть неограниченно увеличивается, а действительная фиксирована. Установлены асимптотические оценки G-функции Мейера специального вида, у которой мнимая часть двух параметров неограниченно возрастает. Показано, что полученное разложение включает в себя в качестве частных случаев известные в литературе некоторые представления функций Бесселя и родственных им функций