Редуктивные пространства с разрешимой группой преобразований, не допускающие эквиаффинных связностей

Abstract

Во введении указан объект исследования – связности на редуктивных пространствах. В случае, если на многообразии транзитивно действует группа Ли, такое многообразие называется однородным пространством, если однородное пространство является редуктивным, то оно всегда допускает инвариантную связность. Если же существует хотя бы одна инвариантная аффинная связность, то пространство является изотропно-точным. Цель работы – изучение трехмерных редуктивных однородных пространств, не допускающих эквиаффинных связностей. Рассматривается случай изотропно-точных пространств, на которых действует разрешимая группа преобразований. Для трехмерных редуктивных однородных пространств, допускающих нормальную связность, изучается вопрос, при каких условиях данное пространство не допускает эквиаффинных связностей. Определены основные понятия: однородное пространство, аффинная (инвариантная) связность, тензор кручения, тензор кривизны, тензор Риччи, редуктивное пространство, алгебра голономии, нормальная связность, эквиаффинная связность. В основной части работы найдены и приведены в явном виде трехмерные редуктивные однородные пространства, допускающие нормальную связность, но не допускающие эквиаффинную, что эквивалентно описанию соответствующих эффективных пар алгебр Ли. Дополнительно выписаны сами инвариантные связности и тензоры Риччи

In the introduction, the object of research is indicated – connections on reductive spaces. If a Lie group acts transitively on a manifold, such manifold is called the homogeneous space, if a homogeneous space is reductive, then it always admits invariant connection. If there exists at least one invariant affine connection, then the space is isotropically-faithful. The aim of the work is to study three-dimensional reductive homogeneous spaces that do not admit equiaffine connections. The case of isotropically-faithful spaces on which a solvable group of transformations operates is considered. For three-dimensional reductive homogeneous spaces admitting normal connection, the question is studied under what conditions this space does not admit equiaffine connections. The basic notions are defined: homogeneous space, affine (invariant) connection, torsion tensor, curvature tensor, Ricci tensor, reductive space, holonomy algebra, normal connection, equiaffine connection. In the main part of the work, three-dimensional reductive homogeneous spaces that admit normal connection but do not admit equiaffine are found and explicitly presented, which is equivalent to describing the corresponding effective pairs of Lie algebras. Additionally, the invariant connections and Ricci tensors themselves are written out.