Использование численных методов для решения задачи о движении волчка тип-топ по гладкой горизонтальной поверхности

Abstract

Волчок тип-топ привлекает к себе внимание благодаря возможности выбора теоретической модели для его описания и проведения с ним простых экспериментов. Во время движения волчок может эффектно переворачиваться на 180º и поднимать свой центр тяжести выше центра сферы, описанной вокруг него. Такое неустойчивое поведение является следствием наличия трения скольжения между волчком и контактной поверхностью. Также в теоретической модели необходимо учитывать сопротивление воздуха при быстром вращении волчка. В настоящей работе теоретическое описание движения волчка осуществляется на основе нелинейных динамических уравнений, записанных в подвижной системе отсчета. В силу сложности модели получение аналитического решения задачи возможно только в простейших случаях с применением первых интегралов. В литературе широко обсуждается интеграл Джелетта, означающий постоянство проекции кинетического момента на радиус-вектор, проведенный из центра масс в точку касания волчка плоскости. С использованием векторного анализа демонстрируется, что интеграл Джелетта перестает существовать при учете момента сопротивления воздуха. Также в работе представлено численное решение задачи о движении волчка по абсолютно гладкой поверхности на основе методов Эйлера и Рунге – Кутта. Метод Эйлера является простым в применении, однако из-за малой точности дает расходящееся решение для рассчитываемых параметров. Метод Рунге – Кутта более точный, однако соответствующие расчетные схемы оказываются громоздкими и затратными по времени. Нами рассматриваются рамки применимости обоих методов для получения оптимальной точности с минимальными временными затратами для расчета траектории точки касания волчка горизонтальной поверхности