Асимптотика интегралов, связанных с аппроксимацией модифицированных функций Бесселя и их комбинаций

Abstract

Проблема асимптотических разложений специальных функций по индексам или параметрам возникает в связи с исследованием некоторых классов индексных интегралов и преобразований по индексу, когда в одной из формул интегрирование осуществляется по параметру (индексу) функции ядра. Наиболее общими ядрами таких преобразований являются функции гипергеометрического типа, в частности функции Бесселя и их комбинации. Для таких функций справедливо свойство иметь своим преобразованием Меллина отношение произведений гамма-функций Эйлера, асимптотика которых в соответствии с формулой Стирлинга известна. В работе представлена формула Стирлинга для гамма-функции комплексного аргумента, у которого мнимая часть неограниченно увеличивается, а действительная часть фиксирована. Установлено, что при больших значениях параметра асимптотические оценки модифицированных функций Бесселя мнимого индекса и их комбинации содержат одинаковые множители независимого аргумента, которые и приводят к интегралам Фурье. Асимптотика интегралов Фурье существенно зависит от дифференциальных свойств подынтегральной функции на всей области интегрирования. В настоящей работе применяется метод стационарной фазы при исследовании асимптотики интегралов Фурье при больших значениях параметра. Согласно принципу локализации вычислены вклады в асимптотику интеграла от критических точек (стационарных точек фазы) и от границы области интегрирования