Специально редуктивные однородные пространства

Abstract

В общем случае задача исследования многообразий различных типов является достаточно сложной. Поэтому естественно рассматривать данную задачу в более узком классе многообразий, например, в классе однородных многообразий. В работе приведены результаты по исследованию трехмерных специально редуктивных однородных пространств. Определены основные понятия – изотропно-точная пара, редуктивное пространство, каноническое разложение, аффинная связность, тензоры кривизны и кручения, специально редуктивное пространство, алгебра голономии, форма Киллинга. Локальное изучение однородных пространств равносильно исследованию пар, состоящих из алгебры Ли и ее подалгебры. В статье описаны трехмерные специально редуктивные однородные пространства; для каждого такого пространства найдены в явном виде формы Киллинга, выписаны стандартные однородные псевдоримановы метрики, связности Леви-Чивита, тензоры кривизны, алгебры голономии, скалярные кривизны, тензоры Риччи, определено, является ли пространство Риччи-плоским, Эйнштейновым, Риччи-параллельным, локально симметрическим, конформно-плоским. Полученные результаты могут найти приложения в математике и физике, поскольку многие фундаментальные задачи в этих областях сводятся к изучению инвариантных объектов на однородных пространствах.